Anfang Originaltext: Berlin 26. Nov. 09
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Hier werden meine Beweisversuche der fermatschen Vermutung für den "Fall 1" vorgestellt, allerdings handelt es sich hier nicht um einen kompletten Beweis, sondern, um Grundideen zur Beweisführung!
Dabei werden auch prinzipielle Aspekte beleuchtet, also z.B. Überlegungen, warum bestimmte Beweisansätze erst gar nicht funktionieren können, oder aber, welche Bedingungen zum Funktionieren eines Beweises gegeben sein müssen.
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0) Kapitelübersicht:
0) Kapitelübersicht
1) Vier Vorbemerkungen
2) Nun zu der Methode
3) Das pascalsche Dreieck
4) Begrifflichkeit
5) Nun zum Zahlensystem (Erzeugung/ Definition)
6) Summenfolgendarstellung
7) Zusammenfassung des Zahlensystems
8) Der erste Fallbeweis
9) Was auf gar keinen Fall funktionieren kann
10) Was funktionieren könnte, aber, nicht funktioniert
11) Zusammenfassung der Gründe des Scheiterns
12) Eine Sache, die ich nicht verstehe
13) Mögliche Beweisindikatoren
14) Der bestmögliche Ansatz
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Die einzelnen Kapitel werden mit folgender (dreiteiliger) Leiste voneinander getrennt:
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1) Vier Vorbemerkungen:
Auf dieser Interneteite kann nicht immer alles perfekt dargestellt werden, so daß es einiger Erläuterungen bedarf:
1.1)___ Verschiedene Browser machen den Zeilenumbruch in dieser Seite an jeweils anderer Stelle, so daß der Text derart dargestellt wird, daß mathematische Ausdrücke nicht in den möglichen Bereich eines Zeilenumbruches fallen (also ärgerlicherweise in zwei oder mehr Zeilen). Nur bei Gleichungen, welche definitiv zu lang sind, werden diese von mir in mehreren Zeilen dargestellt. Der Textbereich kann auch durch Entfernen der Bilder am Seitenrand nicht vergrößert werden, weswegen meine Beweisversuche denn auch stilgerecht am Seitenrand niedergeschrieben werden...
1.2)___ Das Textverarbeitungsprogramm auf dieser Page akzeptiert nur ein einziges "Leerzeichen" und stellt mehrere Blank´s (Leerzeichen) als nur ein einziges Leerzeichen dar. Drei verschiedene Leerzeichen zwischen z.B. den Buchstaben x und y werden z.b.deswegen von mir derart so dargesetellt:
x___y
1.3)___Der Ausdruck (x^n) bedeutet "x hoch n" und der Ausdruck "(n_3)" bedeutet "n mit dem Index 3", "a*b". bedeutet "a mal b" und "x/y" bedeutet "x geteilt durch y", und +/- bedeutet: "Plusminus"; es ist leider nur bedingt möglich, Sonderzeichen darzustellen, weil nicht jeder Browser diese so darstellt, wie sie erscheinen sollen.
1.4)___Verschiedene Schriftarten/ Schriftformen/ unterstrichene Schrift oder Fettdruck sind nicht möglich.
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2) Nun zu der Methode:
Hier wird das Grundprinzip einer methodischen Vorgehensweise erörtert, mittels der ich versucht habe, den "Fall I" der fermatschen Vermutung zu beweisen, und außerdem könnte das (modifizierte) Verfahren auch auf den "Fall II" angewandt werden.
Bekannt ist zunächst , dass die "fermatsche Vermutung" (in Folge hier auch "FV" genannt) nur für teilerfremde Basen x,y und z sowie für ungerade prime Exponenten p bewiesen zu werden braucht, also nur für den Ausdruck:
x^p + y^p = z^p
was ich deswegen auch hier nicht weiter begründen will.
"Fall 1" bedeutet, dass die Zahl xyz nicht durch p teilbar ist, bei "Fall 2" gilt:
p | xyz
Die Methode basiert auf einem Widerspruchsbeweis, das heisst, es wird davon ausgeangen, dass es eine Lösung für
x^p + y^p = z^p ___ gibt, und, die sich daraus ergebenden Sachverhalte werden dann auf einen Widerspruch zurückgeführt.
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3) Das pascalsche Dreieck
Eine Grundlage zur Potenzierung einer Summe oder aber Differenz zweier Zahlen bildet das "pascalsche Dreieck":
Mittels dieses Dreieckes, welches schon lange bekannt ist, und nach (der Person) Blaise Pascal benannt worden ist, lassen sich Ausdrücke wie z.B. (a+b)^n oder aber (x-y)^n als Summenfolge darstellen. (Die Zahlen a,b,x,y und n sind hier allesamt natürliche Zahlen, aber das Dreieck gilt auch für alle anderen reellen Zahlen).
Das pascallsche Dreieck (der obere Teil):
____________________________1______________Ebene 0
__________________________1___1____________Ebene 1
________________________1___2___1__________Ebene 2
______________________1___3___3___1________Ebene 3
____________________1___4___6___4___1______Ebene 4
__________________1___5__10___10__5___1____Ebene 5
________________1___6__15___20__15__6___1__Ebene 6
______________1___7__21___35__35__21__7___1___usw.
Die Zahlen in einer Ebene sind immer die Summe beider Zahlen der Ebene darüber.
So gilt z.B. (10 = (4 + 6)), oder aber: (15 = (10 + 5)).
Der Sinn diese Dreieckes liegt darin, Ausdrücke wie z.B. (x+y)^3 oder aber (z-a)^4 als Summenfolgen darzustellen.
So gilt z.B.:
(x + y)^3 = (x^3) + 3*(x^2)*y + 3*x*(y^2) + (y^3)
oder aber:
(z - a)^4 = (z^4) - 4*(z^3)*a + 6*(z^2)*(a^2) - 4*z*(a^3) + (a^4)
Die Zahlen 1;3;3;1 im ersten Beispiel und die Zahlen 1;4;6;4;1, mittels derer die einzelnen Summanden multipliziert werden, werden als "Koeffizienten" bezeichnet; diese finden sich in der dem Exponenten entsprechenden Ebene; der Rest sollte dann wohl ohne größere Probleme intuitiv begriffen werden können...
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4) Begrifflichkeit:
Ich werde bei meiner Beweisführung ein paar neue, "selbsterfundene" Begriffe einführen, welche die Erklärung vereinfachen, wie z.B. den Begriff der "Teilbarkeitsregel T", der "K-Darstellung", usw.:
------ 4.1) die "Teilbarkeitsregel T":
Gilt ggT (x,y) = 1 und ist p eine ungerade Primzahl und ist (x + y) nicht durch p teilbar, dann gilt:
(x + y) || (x^p) + (y^p)
Gilt ggT (z,y) = 1 und ist p eine ungerade Primzahl und ist (z - y) nicht durch p teilbar, dann gilt:
(z - y) || (z^p) - (y^p)
Dies erkennt man, wenn man im ersten Beispiel den Ausdruck (x^p) + (y^p) durch den Ausdruck
(x^p) + ((w - x )^p) ersetzt mit w = (x + y) und den Ausdruck ((w - x)^p) als Summenfolge mittels den Koeffizienten des pascalschen Dreieckes darstellt, und, im zweiten Beispiel den Ausdruck
(z^p) - (y^p) durch den Ausdruck ((y + b)^p) - (y^p) ersetzt mit
z = ( y + b), und dann den Ausdruck ((y + b)^p) als Summenfolge mittels den Koeffizienten des pascalschen Dreieckes darstellt, denn die zwei ersten Koeffizienten einer "Ebene p" sind immer die Zahlen 1 und p; der dritte Koeffizient ist übrigends p*(p-1)/2.
Somit gilt dann auch:
p*(x + y) || (x^p) + (y^p)
sowie
p*(z - y) || (z^p) - (y^p)
wenn (x + y) oder aber (z - y) durch p teilbar wären, was sich analog beweisen lässt.
------ 4.2) die"K-Darstellung:":
Unter "K-Darstellung" verstehe ich, dass, taucht in einer Summenfolge der Ausdruck k*d*(z^t) auf, und die Zahlen k und d die als Buchstaben dargestellte Zahl z nicht mehr enthalten, und außerdem auch (z.B.) gilt:
z = (x + a), der Ausdruck k*d*(z^t) dargestellt wird als k*d*((x + a)^t) und der Ausdruck
(x + a)^t dabei als Summenfolge mittels der Koeffizienten des pascalschen Dreieckes dargestellt wird. Ein Beispiel:
15*d*(z^3) = 15*d*((x + a)^3) wird k-dargestellt als:
15*d*(x^3) + 15*d*3*(x^2)*a + 15*d*3*x*(a^2) + 15*d*(a^3)
Die "Sprachregelung" lautet dann: "(z^t) wird k-dargestellt als ((x + a)^t)".
Ist der Wert (x + a) schon vorhanden, aber, noch nicht als Summenfolge dargestellt, lautet die Ausdrucksweise: "Die Zahl ((x + a)^t) wird k-dargestellt".
Für Differenzen innerhalb der Klammer für die Basis einer Potenz gibt es ebenfalls eine K-Darstellung; hier sind dann aber nicht alle Summanden positiv.
------ 4.3) Die "Summenfolgedarstellung":
Siehe auch Kapitel 6; der Wert ((x^p) + (y^p))/(x+y) kann mit q = (p-1) als Summenfolge dargestellt werden:
x^q - (x^(q-1))*y + (x^(q-2))*(y^2)..... - x*(y^(p-1)) + (y^q)
= ((x^p) + (y^p))/(x+y)
Analoges gilt für die Subtraktion von Potenzen.
Diese wird am Besten anhand eines Beispieles erklärt:
((z^5) - (x^5))/(z-x) =
(z^4) + (z^3)*x + (z^2)*(x^2) + z*(x^3) + (x^4)
((x^3) + (y^3))/(x+y) =
(x^2) - x*y + (y^2)
Dies kann man am Besten verdeutlichen, indem man diese Summenfolgen mit den Werten (z-x) oder aber (x+y) multipliziert und dann wieder den Ursprungswert erhällt....
(Folgende Begriffe werden zur Beweisführung nicht gebraucht (manche allerdings im Anhang) und werden nur der Komplettheit wegen erörtert):
------ 4.4) Die "B-Darstellung":
Die B-Darstellung beschreibt, aus welchen als Buchsteben die dargestelltern Zahlen einer Summenfolge besteht. Eine "B-Darstellung x;y;z" besteht (z.B.) aus Summanden, welche nur die als Buchstaben beschriebenen Zahlen x,y und z eunthalten; Beispiel:
7*(z^2)*x - 6*x*(y^2) + 18*(a^2)*z
Der Ausdruck
7*(z^2)*x - 6*x*(y^2) + 18*(a^2)*z
wäre zum Beispiel eine "B-Darstellung a;x;y;z".
Das bedeutet im Klartext, dass in dieser Summenfolge keine anderen Buchstaben als a;x;y und z vorkommen; die Zahlen 7;6 und 18 sind NICHT definitiver Bestandteil der B-Darstellung; das heisst, wäre z.B. 7 = t, und, wäre t teilerfremd zu (a*x*y*z), dann wäre z.B. der Ausdruck
7*(z^2)*x - 6*x*(y^2) + 18*(a^2)*z
KEINE B-Darstellung (a;x;y;z;t), obwohl hier nun gelten würde:
t*(z^2)*x - 6*x*(y^2) + 18*(a^2)*z
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
------ 4.5) "obere und untere Primzahlen":
In dem Wert x^g - y^g (mit g als geradem Exponenten) nenne ich die Teiler dieses Wertes, die durch (x+y)*(x-y) teilbar sind, die "unteren Primzahlen", der rest sind die "oberen Primzahlen".
Für u als ungeraden Exponenten finden sich für den Wert
x^u +/- y^u
die unteren Primzahlen im Wert (x +/- y)
------ 4.6) "Korrekturwert":
Ist eine Zahl durch eine Zahl mit einer bestimmten Vielheit teilbar, bestimmt der "Korrekturwert" jene Zahl, mittes der diese Zahl mit einer größeren Vielheit teilbar ist. Beispiel:
Wir nehmen die Zahlen x und y mit w = (x + y)mit p als ungerader Primzahl und dann die Zahl:
x^p + y^p
Es gilt nun:
(p^2) | (w^p) - p*(w^(p-1))*y
Soll diese Zahl dann aber durch (p^3) teilbar sein, muss ein Korrekturwert hinzugefügt werden:
(p^3) | (w^p) - p*(w^(p-1))*y + ((p-1)/2)*(w^(p-2))*(y^2)
Der Wert ((p-1)/2)*(w^(p-2))*(y^2) ist dann der Korrekturwert.
------ 4.7) "effektiver Exponent":
Mittels den von mir hier vorgestellten Methoden besitzt jeder Summand einen vergleichbaren "effektiven Exponenten"; das heisst, für die Zahlen c,a,b,w,x,y und z gilt der Eratzexponent "1", für die Zahlen (n^p), (m^p) und (v^p) gilt der Ersatzexponent (p-1) = q und für (f^p) gilt der Ersatzexponent (p-3).
Adiiert man die Ersatzexponenten unter jedem Summanden zusammen, ergibt sich immer der gleiche Wert; ein Beispiel für den Ersatzexponenten (p+1):
(z^(p^1)) - (x^(p+1)) - (y^(p+1)) - a*b*((n^p) + (m^p)) = 0
Ein Beispiel für den Ersatzexponenten (p-3) für (p=5):
(f^5) - 5*(c^2) + 5*c*w - 5*(w^2) + 5*y*w - 5*(y^2) = 0
------ 4.8) Basisdefinition:
Die Definition der Zahlen c;a;b;w;x;y und z, welche sich innerhalb einer Gleichung auch dann immer stimmig darstellen lässt, wenn NICHT vorausgesetzt wird:
(x^p) + (y^p) = (z^p)
Das Problem bei meiner Beweisführung bisher war, dass, sinkt der "effektive Exponent" unter (p-3), die dich sich daraus ergebenden Gleichungen schon alleine aufgrund der Basisdefinition stimmen müssen, das heisst, man erhällt auch dann wahre Gleichungen, wenn man für c;a;b;w;x;y und z konkrete Zahlenwerte gemäß der Basisdefinition dieser Zahlen (z.B. w = x + y) einsetzt.
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5) Nun zum Zahlensystem:
Zunächst gilt:
(x + y)^p > (x^p) + (y^p), und, somit müsste, wenn gelten würde:
(x^p) + (y^p) = (z^p) , dann auch gelten:
(x + y)^p > (z^p) und somit: (x + y) > z und dann auch gelten
c > 0 mit (c = (x + y) - z).
In der nun folgenden Basisdefinition werden nur positive ganze Zahlen verwendet.
Es soll gelten:
(x + y) = w
(w - z) = c
(z - x) = a
(z - y) = b
Damit gilt dann auch:
(y - a) = c
(x - b) = c
damit gilt nun gilt im Fall 1 (aufgrund der Teilbarkeitsregel T):
w || (x^p) + (y^p) , als auch:
a || (z^p) - (x^p) , sowie:
b || (z^p) - (y^p) ,
und somit gilt auch:
w || (z^p)
a || (y^p)
b || (x^p)
Da sich eine p-te Potenz aber nur so als Produkt zweier teilerfremden Zahlen darstellen lässt, wenn beide dieser Zahlen p-te Potenzen sind, müssen die Zahlen w; a und b allesamt p-te Potenzen sein.
Es gilt somit:
w = (h^p) mit (z^p) = w(v^p) und z = vh
a = (r^p) mit (y^p) = a(n^p) und y = r*n
b = (s^p) mit (x^p) = b(m^p) und x = sm
Da nun gilt:
y - a = x - b = w - z = c___, gilt auch:
r*n - (r^p) = sm - (s^p) = (h^p) - hv = c, gilt auch:
hrs || c_____, und somit gilt:
c = fhrs___und___(c^p) = (f^p)wab;
die Zahl "f" enthällt die in c enthaltenen restlichen möglichen Primfaktoren.
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6) Summenfolgendarstellung:
Da nun gilt:
(n^p) = ((z^p) - (x^p))/a
(m^p) = ((z^p) - (y^p))/b
(v^p) = ((x^p) + (y^p))/w
gilt auch:
(n^p) = (z^q) + (z^(q-1))*x +........ + z*(x^(q-1)) + (x^q))
(m^p) = (z^q) + (z^(q-1))*y +........ + z*(y^(q-1)) + (y^q))
(v^p) = (x^q) - (x^(q-1))*y -........ - x*(y^(q-1)) + (y^q))
mit q = (p-1).
Das Ganze soll mal am Beispiel des Falles p = 5 verdeutlicht werden:
(v^5) = (x^4) - (x^3)*y + (x^2)*(y^2) - x*(y^3) + (y^4)
Da nun gilt. w = (x + y), kann man die linke Seite mit w,
und die rechte Seite mit (x + y) multiplizieren und erhällt:
w*(v^5) = (x^5) + (y^5)
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7) ZUSAMMENFASSUNG DES ZAHLENSYSTEMS:
(x + y) = w
(w - z) = c
(z - x) = a
(z - y) = b
(y - a) = c
(x - b) = c
x = sm
y = r*n
z = vh
w = (h^p)
a = (r^p)
b = (s^p)
(z^p) = w*(v^p)
(y^p) = a*(n^p)
(x^p) = b*(m^p)
c = fhrs
(c^p) = (f^p)wab
q = (p-1)
Die Zahlen d,t und j und k finden freie Verwendung, und haben je nach Einsatz verschiedene Bedeutung.
g steht allgemein für einen geraden, und u allgemein für einen ungeraden Exponenten.
Die Zahlen f,h,r und s sind jeweils paarweise zueinander teilerfremd.
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8) Grundidee der Beweisführung I:
Zunächst wird davon ausgegangen (der Beweis basiert auf dem Prinzip des Widerspruchsbeweises), dass gilt:
x^p + y^p = z^p
Da nun, ist t eine natürliche Zahl, immer gilt:
p | (t^p) - t
(was unter Anderem aus dem kleinen fermatschen Satz hervorgeht), kann man zu dem Ausdruck
x^p + y^p - z^p
die durch p teilbaren Ausdrücke
x - (x^p) + y - (y^p) + (z^p) - z
addieren, und erhällt nun den durch p teilbaren Ausdruck
p | x + y - z = c
Somit ist c immer durch p teilbar, und, im Fall 1, weil gilt:
c = fhrs
gilt auch:
p | f
weil die Zahlen h,r und s nur Primfaktoren von z,y und x enthalten.
Da nun gilt:
w - z = c ___ und ___ y - a = c ___ und ___ x - b = c
Gilt nun auch:
p | (h^p) - v*h = w - z
p | n*r - (r^p) = y - a
p | m*s - (s^p) = x - b
und somit auch:
p | (h^q) - v
p | n - (r^q)
p | m - (s^q)
Da nun h,r und s teilerfremd zu p sind, sind die drei Zahlen
h^q - 1
r^q - 1
s^q - 1
Immer durch p teilbar, was aus dem kleinen fermatschen Satz hervorgeht, und somit auch die drei Zahlen
v - 1
n - 1
m - 1
Durch p teilbar. Damit gilt aufgrund der "Teilbarkeitsregel T" dann:
(p^2) | (v^p) - 1
(p^2) | (n^p) - 1
(p^2) | (m^p) - 1
Somit kann man zu dem Wert
x^p + y^p - z^p = 0 = b*(m^p) + a*(n^p) - w*(v^p)
Die drei durch (p^2) teilbaren Werte
(p^2) | b*(1 - (m^p))
(p^2) | a*(1 - (n^p))
(p^2) | w*((v^p) - 1)
addieren und erhällt nun den durch (p^2) teilbaren Wert:
(p^2) | - w + a + b = - 2*c
und somit gilt dann:
(p^2) | c
Nun beginnt die eigentliche Beweisführung, welche darauf beruht, dass gilt:
(p^2) | f
Dadurch können, je nachdem, zu welchen Ergebnissen die von mir vermuteten Thesen führen, zwei verschiedene mögliche Arten der Beweisführung geführt werden:
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9)
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9.1)
Angenommen, es liesse sich beweisen, dass gilt:
h | 2
r | 2
s | 2
Dann würde sich auch (ziemlich einfach) beweisen lassen, dass gilt:
h > r und
h > s
und zwar, weil gilt:
w-a-b = 2*c
Somit gilt:
w > a und w > b und somit auch:
(h^p) > (r^p) und somit auch (h^p) > (s^p)
und somit auch:
h > r und h > s
Damit würde dann mit (h < 3) gelten:
r = s = 1 = (r^p) = s^p) = 1 = a = b
Da nun allerdings gilt:
z - a = x sowie z - y = b
würde auch gelten: (x = y), womit diese beiden Zahlen nicht mehr zueinander teilerfremd sein können!
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9.2)
Nehmen wir aber nun folgenden Fall an:
h | (p-1)
r | (p-1)
s | (p-1)
In diesem Fall kann der Wer (h - r - s) mit (h>r) und (h>s) nur noch dann durch p teilbar sein, wenn gilt:
h = r + s
Damit aber taucht ein Problem auf: Da h,r und s zueinander teilerfremd sind, muss genau eine von diesen drei Zahlen gerade sein.
Nehmen wir an, r sei gerade, und, es soll gelten:
(2^k) || r
, dann müsste aufgrund der "Teilbarkeitsregel T" gelten:
(2^k) || (h^p) - (s^p); dies ist allerdings gleich
2*c + a
, und dies ist gleich:
2*c + (r^p)
somit gilt dann:
(2^k) || 2*c
was im Widerspruch steht zu:
(2^k) || c
Genauso lässt sich beweisen, dass s nicht durch 2 teilbar sein kann;
angenommen aber, es soll gelten:
(2^k) || h
, dann müsste aufgrund der "Teilbarkeitsregel T" gelten:
(2^k) || (r^p) + (s^p); dies ist allerdings gleich
a + b
, und dies ist gleich:
(h^p) - 2*c
somit gilt dann:
(2^k) || 2*c
was im Widerspruch steht zu:
(2^k) || c
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10)
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11) Zusammenfassung der Gründe des Scheiterns:
Zunächst soll erwähnt werden, dass meine Beweisversuche vom Grundprinzip her auf dem Prinzip des Widerspruchsbeweises basieren; manche Induktionsbeweise allerdings lassen sich auch so formulieren, dass ein Widerspruchsbeweis daraus entseht;
Wird als Basis für einen Beweis z.B. nur die Basisdefinition zugrundegelegt
(w = x + y); (z - x + a); (z = y + b); (w - z = c)
ohne, dass der Ausdruck
x^p + y^p = z^p
zugrunde gelegt wird, kann es zu gar keinem Widerspruch kommen!
Ein Beispiel hierfür:
Aufgrund der Basisdefinition gilt auch:
xy - ab = cz
xz - bw = cy
yz - aw = cx
Dies ist an einem einfachen Beispiel leicht zu erkenen:
c = 10; a = 3; b = 4; w = 27; x = 14; y = 13; z = 17
Wenn man also nun z.B. den Ausdruck
(cz)^p - ((xy^p) - (ab^p))
versucht, K-darzustellen, dann kan man nach dem Ersetzen von
(cz)^p durch (f^p)*a*b*w*(z^p) sowie
((xy)^p) durch a*b*((n^p)*(m^p))
Die ganze Sache durch a*b teilen. Ersetze man allerdings nun die Zahlen (m^p) und (n^p) nicht durch die Summenfolgedarstellung, sondern, durch die Summenfolgen
(n^p) = (y^q) + c*(y^(q-1))...+ (c^(q-1))*y + (c^q) + (f^p)*b*w
sowie
(m^p) = (x^q) + c*(x^(q-1))...+ (c^(q-1))*x + (c^q) + (f^p)*a*w
Dann kann es hier zu keinem Beweis kommen, da diese Darstellung immer eine versteckte Darstellung der Zahlen
y = (c + a) und (c^p) = (f^p)*a*b*w
ist, was z.B. klar wird, wenn man den Ausdruck
(n^p) = (y^q) + c*(y^(q-1))...+ (c^(q-1))*y + (c^q) + (f^p)*b*w
nimmt, ihn mit a multipliziert und dann a durch (y-c) ersetzt und den Wert (f^p)*a*b*w durch (c^p); dann entsteht nämlich die Gleichung:
a*(n^p) = (y^p)
Der Wert
(x^p) + (y^p) - (z^p) = 0 = d
muss also schon in irgendeiner Form eingebaut werden!
Leider stellte ich dann bei meinen gescheiterten Beweisversuchen fest, dass ich den Wert d genausooft addiert habe, wie ich ihn subtrahiert habe, die entstehende Gleichung somit also allein schon aufgrund der Basisdefinition der Zahlen x;y;z;a;b;w;c stimmen musste; hierzu einmal ein Beispiel:
Hier wird klar:
Nun kann sich ein Vielfaches oder aber ein Teiler der Zahl
(x^p) + (y^p) - (z^p) = 0 = d
auch in versteckter Form einschleichen, etwa in Form der Summenfolgedarstellungen der Zahlen (n^p); (m^p) oder (v^p); hier einmal ein Beispiel:
Der Ausdruck
(n^p) = (x^q) + (x^(q-1))*y + ..... + x*(y^(q-1)) + (y^q)
ist gleich dem Ausdruck
(y^p)/a = ((z^p) - (x^p))/a
die ganze Sache konnte also somit zu gar keinem Widerspruch führten, da die ganze Gleichung nämlich auch gegolten hätte, wen statt:
(x^p) + (y^p) - (z^p) = 0 = d
gegolten hätte:
(x^p) + (y^p) - (z^p) + t = 0 = d
oder aber:
(x^p) + (y^p) - (z^p) - t = 0 = d
Zu guter Letzt sei noch erwähnt, dass es nicht immer unbedingt einfach war, zu erkennen, dass man d genausooft addiert wie subtrahiert hatte:
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12) Vorlauf (wie alles anfing)
Ich begann so im Jahre 2002 oder aber 2003 mich für die fermatsche Vermutung zu interessieren, davon gelesen hatte ich irgendwann mal in der Bücherei in einem Buch über ungelöste mathematische Probleme, so um das Jahr 1990, aber, ich hatte auch vorher schon etwas davon gehört. Im Jahre 1998 fand in Berlin der internationale Mathematikkongress statt, über den ich nur zufällig erfuhr.
Vor dem Eigang des Gebäudes der TU stand ein Mann mit einem Plakat mit der Aufschrift "es geht auchz einfacher", und, darunter vier Gleichungen, mittels denen er meinte, die fermatsche Vermutung bewiesen zu haben; ich unterhielt mich mit ihm später noch ein wenig in der Mensa, und, ich erfuhr, dass ein gewisser "Andsrew Wiles" aus England das Problem gelöst haben soll, am Ende des Kongresses gab es auch noch einen Film mit einem Interview von Wiles.
So im September 2001 kaufte ich mir dann das (populärwissenschaftliche) Buch "Fermats letzter Satz" von Simon Singh.
Ich begann, an die Lösung heranzugehen, als ich in dem Buch las, dass die Lösung dieses Problemes womöglich mit dem kleinen fermatschen Satz zusammenhängen könnte. Irgendwann suchte ich dann mal in der TU Berlin den Professor für Algebra, Michael Pohst auf, um ihm meine Beweisansätze vorzustellen.
Ich hatte keine Ahnung davon, wie man den kleinen fermatschen Satz bewiesen hatte, und, auch die Teilbarkeitsregel, welche für den Fall 1 gilt
a || (z^p) - (x^p)
b || (z^p) - (y^p)
w || (x^p) + (y^p)
hatte ich nur über Stichproben entdeckt, und liess mir dioe Beweisführung in einem Mathematikforum bestätigen.
Natürlich kam mir hiernbei meine maßlose Arroganz zugute; schliesslich bin ich ein "Wessi", so wusste ich zwar, dass diese Vermutung nur für ungerade prime Exponenten gelöst zu werden braucht, ich wusste aber nicht warum, und so ging ich frohen Mutes daran, erst einmal das Zahlensystem zu erstellen!
Ich versuchte, die ganze Sache auf einen Widerspruch zurückzuführen, indem ich versuchte, nachzuweisen, dass irgendwelche Zahlen durch die Zahlen meines Zahlensystemes teilbar sind; vergeblich...
Irgendwann wurde mir bewusst, dass ich gar nicht mit der Gleichung
(x^p) + (y^p) = (z^p)
gearbeitet hatte, sondern nur mit den Ausdrücken
(z^p) - (x^p)
(z^p) - (y^p)
(x^p) + (y^p)
und somit auch nur die (als Grundvorraussetzung angenommenen) Gesetzmäßigkeiten über (y^p) oder (x^p) oder (z^p) bestätigt bekam.
Später dann begann ich mit Gleichungen zu arbeiten, und zwar hatte das Ganze folgenden Grund:
Im Jahre 2005 entdeckte ich, dass gilt:
xy - ab = cz
zy - wa = cx
zx - wb = cy
Damit gilt dann auch:
h^2 | xy - ab
s^2 | zy - wa
r^2 | zx - wb
Die Grundidee war die, eine durch (h^2), (r^2) oder (s^2) teilbare Gleichung zu erstellen, um dann, nach Teilung der Werte durch h,r oder s klarzustellen, dass der sich ergebende Wert sich auch noch durch h,r oder s teilen lassen muss; aber, auch das hat nicht funktioniert!
(z^p) - (x^p) - (y^p) = 0,
dann darf ein Beweis nur dann einen Widerspruch bilden, wenn zugleich nicht auch gelten darf:
(z^p) - (x^p) - (y^p) - t = 0
Allerdings stellte sich bei meinen Beweisversuchen immer folgendes Problem ein:
Ich stellte fest, dass entweder eine Gleichung nur dann aufging, wenn auch galt:
(z^p) - (x^p) - (y^p) = 0
oder aber, ich stellte fest, dass die Gleichung immer dann aufging, wenn auch die Basisdefinition stimmt, dass heisst, die Gleichung
(z^p) - (x^p) - (y^p) = 0
wurde gar nicht gebraucht.
Im ersten Fall konnten diese Beweisversuche nicht fruchten, im zweiten Fall stellte ich beim näheren Hinsehen fest, dass ich den Ausdruck
(z^p) - (x^p) - (y^p) = 0
genausooft addiert habe, wie ich ihn auch subtrahiert habe; das heisst, die ganze Sache würde auch dann noch eine Gleichung sein, wenn gelten würde:
(z^p) - (x^p) - (y^p) - t = 0
In der Praxis bedeutet das, dass ich den effektiven Exponenten bis auf (p-3) herunterschieben konnte, und, die Gleichungen entweder immer nur aufgrund der Basisdefinition Gleichungen waren, oder aber, der effektive Exponent sich nicht weiter verkleinern liess!
Jede Gleichung, mit der ich zum Beispiel versucht habe, die Größe von (f^p) darzustellen, lief im Grunde genommen auf dasselbe heraus.
Das Schlimmste war, dass sich die Zahl
(z^p) - (x^p) - (y^p) = 0
auch noch in "versteckter Form" eingeschlichen hat, etwa bei der Gleichsetzung der Zahl (n^p) mit (p=5) mit der Summenfolge
(z^4) + (z^3)*x + (z^2)*(x^2) + z*(x^3) + (x^4)
, welche auf eine Addition bzw. Subtraktion des Wertes
(y^5)/a - ((z^5) + (y^5))/a
hinausläuft.
Es war nicht immer so ganz einfach, zu vermeiden, nicht doch von der Gleichung den Wert
(z^p) - (x^p) - (y^p)
abzuziehen; so ist zum Beispiel der Wert
(w^p) - (x^p) - (y^p)
durch c bzw. deren Faktoren teilbar, das Ganze kann aber dummerweise nur dann realisiert werden, wenn man eine K-Darstellung von w als (z+c) macht
((c+z)^p) - (x^p) - (y^p)
und von dieser Gleichung wieder den Wert
(z^p) - (x^p) - (y^p)
abzieht; das alte Problem, also!
Dann allerdings gab es etwas, was mich aufhorchen liess:
Man konnte (im Fall 2 Z.B. die Zahl (n^p) (mal sam Beispiel der Zahl (p=3) verdeutlicht) auf zwei verschiedene Arten darstellen:
(n^3) = (z^2) + z*x + (x^3)
aber auch als:
(n^3) = (y^2) + y*c + (c^2) + (f^3)*w*b
hier also ergab sich die Chance, das es zu einem Widerspruch kommen könnte;
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
für (p=5) gilt dann:
p^(2*k) | ((w^5)-(x^5)-(y^5))/y - c*w*((w^5)-(x^5)-(y^5))-5*(x^4)*y)/x*(y^2)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Damit liesse sich eine Beweisführung, die nur für (p=5) gilt, verallgemeinern, wenn allgemein gelten würde:
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
Allerdings macht einem der Fall (p=7) einen Strich durch die Rechnung; der Wert
((w^7)-(x^7)-(y^7))/y
ist zwar auch hier vorhanden, allerdings wird von ihm (um noch durch (p^(2*k)) teilbar zu sein) der Wert
c*(21*(x^5) + 70*(x^4)*y + 105*(x^3)*(y^2) + 84*(x^2)*(y^3) + 35*x*(y^4) + 7*(y^5))
abgezogen, welcher dann eben nicht mehr die Form
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
und vewrsuchte, solange den fölgenden Algorythmus auszuführen, bis ich eine Darstellung der Zahl (n^3) hatte; da man mich im Januar 2010 für 6 Tage in ein Gefängnis gesperrt hatte, hatte ich genug Zeit, dies auszuprobieren; es ging schief; ich erhielt für (n^3) genau denselbren Ausdruck, von dem ich ursprünglich ausgegangen war!
(n^3) = (z^2) + z*x + (x^3)
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13)
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Ende: DI 06 März 2012
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